Методика изложения теории вероятностей в школе

Затем повторить опыт еще 10 раз. На самом деле мы имеем уже 20 опытов, которые опять заносим в таблицу и вычисляем относительную частоту при n = 20. Проделав опыт, например, 100 раз, можно определить приближенное значение вероятности для каждого исхода.

А как определить вероятность на множестве элементарных событий? Далее можно привести формулу классической вероятности (выше мы ее предлагали).

Элементарным, как это видно из самого названия, является самое простое событие, которое нельзя разложить на другие события.

Например, выпадение на кубике четного числа - событие не элементарное. Оно раскладывается на три события: выпала двойка, выпала четверка, выпала шестерка. А вот выпадение каждого числа как раз и есть элементарное событие.

При бросании кубика получаем множество из 6-ти элементарных событий. Событию “выпадание четного числа" соответствует подмножество из элементов 2, 4, 6 (мера этого подмножества M = 3). Событию “выпадание числа больше двух” соответствует подмножество из четырех элементов. Обозначим множество элементарных событий греческой буквой (омега). Тогда можем записать:

.

Пример 1. Пусть событие A - выпадание на кубике четного числа; M (A) = 3. Здесь - множество всех возможных выпаданий; M () = 6. Значит, .

Для более интересного и занимательного обучения можно в эксперимент с подбрасыванием кубика внести элемент противоречия. Например, предложить ребятам разделиться на группы и в качестве задания они должны фиксировать результаты подбрасывания кубика, а затем вывести закономерность, какое число выпадает чаще. Но, например, двум группам дать ”правильные" кубики, а третьей со смещенным центром тяжести. У ребят с ”неправильным" кубиком в итоге возникнут подозрения, что с их кубиком что-то не так.

Пример 2. Возьмем мешок с 10 шариками (4 красных, 3 желтых, 3 синих). Ты наугад вынимаешь из мешка шарик. Множество элементарных событий состоит из 10-ти элементов; каждый элемент - вынимание одного шарика (M () = 10). Множество элементарных событий разбито здесь на три подмножества: красное (M (K) = 4), желтое (M (Ж) = 3), синее (M (С) = 3). Вероятность вытянуть с закрытыми глазами синий шарик определяется по формуле:

.

Аналогично без труда находятся вероятности P (K) и P (Ж).

Пример 3. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым? Событие ”извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой A.

Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию A. В соответствии с формулой получаем:

.

Задачи:

1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается 1 шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется делящимся на 5?

3. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). В данном случае m = 9, n = 90:

,

где A - событие “число с одинаковыми цифрами”.

4. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

5. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 7 или 8?

Решение. Обозначим события: A - “выпало 7 очков”, B - “выпало 8 очков”. Событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов, а событию B - 5 исходов (см. табл.1, рис.1). Всех равновозможных элементарных исходов - 36, что видно из той же таблицы. Значит: , .

Новое в образовании:

Особенности внимания младших школьников в психолого-педагогической литературе
Проблема внимания является одной из старейших психологических проблем. Внимание – важное и необходимое условие эффективности всех видов деятельности человека, прежде всего трудовой и учебной. Чем сложнее и ответственнее труд, тем больше требований предъявляет он к вниманию. Внимательность необходим ...

Краткая история гимназии №54 г. Челябинска
История гимназии восходит к 60-м годам 20-го века, когда 1 сентября 1957-го года была открыта средняя общеобразовательная школа №54 города Челябинска. В 1976 году для школы было построено новое здание. Одна из особенностей работы школы в этот период состояла в существовании двух профильных спортивн ...

Методика работы над орфографическим правилом
Формирование навыка грамотного письма у школьников базируется на усвоении грамматической теории и орфографических правил. Орфографические правила регулируют написание не одного слова, а целой группы слов, объединенных чем-то общим. Тем самым они избавляют пишущих от необходимости запоминать образ к ...