Элементы комбинаторики. Принцип Дирихле

В начале занятия кратко рассказать историю зарождения комбинаторики и об областях ее применения.

Определение. Задачи на составление числа возможных соединений элементов с определенными свойствами, которые можно составить из элементов заданного множества, называются комбинаторными.

Задача 1.

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?

Решение: Для того чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, будем выписывать их в порядке возрастания. Сначала запишем числа, начинающиеся с цифры 1, затем с цифры 4 и, наконец, с цифры 7. Получаем следующий расклад.

Таким образом, из трех данных цифр можно составить всего 9 различных двузначных чисел. Данный метод называется методом перебора

.

Однако существует другой подход к решению самых разных комбинаторных задач с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда название –

дерево возможных вариантов

.

Вернемся к задаче о составлении двузначных чисел из цифр 1, 4 и 7. Для ее решения можно построить специальную схему.

Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. Знак “*” изображает корень дерева, ветви дерева – различные варианты решения. Чтобы получить двузначное число, надо сначала выбрать первую его цифру, а для нее есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому из точки * проведены три отрезка и на концах поставлены цифры 1, 4 и 7.

Теперь надо выбрать вторую цифру, а для этого также есть три варианта: 1, 4 или 7. Поэтому от каждой первой цифры проведено по три отрезка, на концах которых снова записано 1, 4 или 7. Итак, получено всего 9 различных двузначных чисел. Других двузначных чисел из этих трех цифр составить невозможно.

Дополнительная подзадача:

Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры десятков и единиц не повторяются?

Задача 2.

Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

Способ 1: Обозначим города их первыми буквами. Тогда код каждого маршрута будет состоять из трех букв: В, Р и Ф, каждая из которых должна быть использована только один раз, например, ВФР или ФРВ.

Варианты путешествия получаются следующие: ВРФ, ВФР, РВФ, РФВ, ФВР, ФРВ

, что хорошо видно из дерева вариантов.

Путешествие можно начинать в любом из трех городов. Если первой посетить Венецию, то затем можно поехать в Рим или во Флоренцию. Если вторым посетить Рим, то третьей будет Флоренция, если второй будет Флоренция, то третьим будет Рим. Это первые два варианта путешествия. Таким образом, всего существует 6 вариантов путешествия.

Новое в образовании:

Помощь коллег и руководства школы в процессе формирования индивидуального стиля работы классного руководителя
Одним из важных резервов в управлении процессом формирования индивидуального стиля в классном руководстве является психологический аспект. Такая потребность вызвана тем, что упор делается на методическую подготовку учителя, а его психологические, психические качества, которые имеют непосредственное ...

Посещение семей
Педагогическая помощь родителям должна основываться на тщательном и всестороннем изучении каждой семьи, каждого ребенка. Работа с родителями будет иметь конкретный, действенный характер, способствовать взаимопониманию и взаимному интересу родителей и воспитателей, если в ней будут реализованы в еди ...

Учитель XXI века. Каким он должен быть
Нет другой профессии, о которой так много написано с древнейших эпох. Нет другого представителя человеческого общества, которого возвеличили все известные поэты, писатели, ученые, мыслители, рядовые граждане всех времен. Педагог, наставник, мугаллим, преподаватель… В каждой цивилизации, в каждом го ...