Методические элементы введения комбинаторики

7. На стол бросают 2 игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

8. В киоске продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов каждого вида). Оля и Таня хотят купить по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

9. Мама решила сварить компот из фруктов двух различных видов. Сколькими способами мама может это сделать, если у нее имеется 7 видов фруктов?

10. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует вариантов такого выбора?

11. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

12. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

Перестановки

Пример 16. Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение. Первым (I) в очереди мог стать любой из четырех семиклассников, вторым (II) - любой из оставшихся трех, третьим (III) - любой из оставшихся двух и четвертым (IV) - семиклассник, подбежавший последним. По правилу произведения у четверых ребят существует =24 способа занять очередь. Рис.17 иллюстрирует решение с помощью дерева вариантов.

Ответ: 24 способа.

В примере 16 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из четырех элементов.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P - первая буква французского слова permutation - перестановка). Читается: ”Число перестановок из эн элементов" или ”Пэ из эн”. В примере 16 было показано, что P4 = 4·3·2·1. Пользуясь переместительным законом умножения, можно записать P4 = 1·2·3·4. С помощью правила произведения можно обосновать, что

.

После применения переместительного закона умножения эту формулу можно переписать в виде

(2.5).

Таким образом, число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Пример 17. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8? Решение. Задача сводится к подсчету чисел перестановок из пяти элементов.

.

Ответ: 120 различных чисел.

Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как ”Эн факториал”), т.е.

,

и формула (2.5) приобретает вид

(2.6).

Пример 18. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение. Первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

.

Новое в образовании:

Классификация сказки и их специфика
Важнейшие идеи, основная проблематика, сюжетные стержни и – главное – расстановка сил, осуществляющих добро и зло, по сути, едины в сказках разных народов. В этом смысле любая сказка не знает границ, она для всего человечества. Фольклористика посвятила сказке множество исследований, но определение ...

Лингвистические особенности лексико-грамматических категорий тюркских языков
Каждый язык имеет свои особенности, свою структурную специфику. Некоторые языки похожи между собой грамматически, другие же резко различаются. Татарский и русский языки принадлежат к разным типам языков, и это накладывает свой отпечаток при изучении татарского. По происхождению языки делят на семьи ...

Условия и средства развития художественно-творческих способностей
Употребляя словосочетание «способные дети», мы тем самым подчеркиваем, что существует некая особая категория детей, качественно отличающихся от сверстников. В специальной литературе постоянно и много пишут об их исключительности. Не касаясь содержательной стороны этих обсуждений, отметим, что такой ...