Методические элементы введения комбинаторики

7. На стол бросают 2 игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?

8. В киоске продается пять видов мороженого (не менее двух брикетов каждого вида). Оля и Таня хотят купить по одному брикету. Сколько существует вариантов такой покупки?

9. Мама решила сварить компот из фруктов двух различных видов. Сколькими способами мама может это сделать, если у нее имеется 7 видов фруктов?

10. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует вариантов такого выбора?

11. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

12. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, если:

1) цифры в числе могут повторяться;

2) цифры в числе должны быть различны.

Перестановки

Пример 16. Семиклассники Анна, Борис, Виктор и Галина побежали на перемене к теннисному столу, за которым уже шла игра. Сколькими способами подбежавшие к столу семиклассники могут занять очередь для игры в настольный теннис?

Решение. Первым (I) в очереди мог стать любой из четырех семиклассников, вторым (II) - любой из оставшихся трех, третьим (III) - любой из оставшихся двух и четвертым (IV) - семиклассник, подбежавший последним. По правилу произведения у четверых ребят существует =24 способа занять очередь. Рис.17 иллюстрирует решение с помощью дерева вариантов.

Ответ: 24 способа.

В примере 16 были подсчитаны всевозможные комбинации из четырех элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из четырех элементов.

Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов. Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Pn (P - первая буква французского слова permutation - перестановка). Читается: ”Число перестановок из эн элементов" или ”Пэ из эн”. В примере 16 было показано, что P4 = 4·3·2·1. Пользуясь переместительным законом умножения, можно записать P4 = 1·2·3·4. С помощью правила произведения можно обосновать, что

.

После применения переместительного закона умножения эту формулу можно переписать в виде

(2.5).

Таким образом, число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n.

Пример 17. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 4, 5, 6, 7 и 8? Решение. Задача сводится к подсчету чисел перестановок из пяти элементов.

.

Ответ: 120 различных чисел.

Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как ”Эн факториал”), т.е.

,

и формула (2.5) приобретает вид

(2.6).

Пример 18. Сколькими способами можно расставить на полке 8 книг, если среди них 2 книги одного автора, которые при любых перестановках должны стоять рядом?

Решение. Первоначально будем считать 2 книги одного автора единой книгой. Тогда количество способов расстановки условных семи книг на полке будет равно числу перестановок из 7 элементов:

.

Новое в образовании:

Методика распределения и устойчивости внимания с помощью 25-значных одноцветных цифровых таблиц
Она позволяет оперативно и достаточно быстро в условиях, обеспечивающих повышенный интерес учащихся к содержанию выполняемых заданий, оценивать такие показатели внимания, как его распределение и устойчивость одновременно. Результат данной методики показал (табл. 3): Таблица 3 6 класс время в/сек за ...

Способ демонстрации результата проделанной работы
Презентация результатов работы перед педагогическим коллективом, на заседаниях школьного МО учителей физической культуры, ОБЖ, технологии, искусства, на заседаниях городского МО учителей физической культуры. Форма отчета по проделанной работе Обобщение опыта работы на уровне школы и ГМО Выступления ...

Личность. Ценностная ориентация личности
Личность формируется, главным образом, в деятельности, через отношения с другими людьми, коллективом, обществом. Процесс формирования личности - это процесс усвоения индивидом опыта общественной жизни. Начиная с момента рождения человека и на протяжении всей его жизни те или иные стороны личности п ...