Предлагаемый материал рекомендуется изучать в конце VII класса, исходя из тех соображений, что к этому времени у школьников еще свежи арифметические знания, сохранилась память о предметных действиях, но уже стало очевидным влияние алгебраических и геометрических знаний, т.е. наблюдается стремление к обобщению, алгоритмизации полученной информации, повышается графическая культура. Материал для этого раздела взят из журнала ”Математик в школе".
Основная цель изучения комбинаторики в старшей школе и в вузе - это получение средств решения вероятностных задач. В основной же школе комбинаторика призвана, в основном, сформировать так называемое комбинаторное мышление, позволяющее человеку разумно организовать перебор ограниченного числа данных, подсчитать всевозможные комбинации элементов, составленных по определенному правилу.
В математике существует немало задач, в которых требуется из имеющихся элементов составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных комбинаций элементов, образованных по определенному правилу. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.
Некоторые комбинаторные задачи еще в Древнем Китае, а позднее - в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей.
В древности для облегчения вычислений часто использовали камешки. При этом особое внимание уделялось числу камешков, которые можно было разложить в виде правильной фигуры. Так появились квадратные числа (1, 4, 16, 25, …). На рис.1 показано правило их изображения.
Рисунок 1
Любое n-е по порядку квадратное число вычисляется по формуле
N=n2 (2.2)
Были сконструированы треугольные (1, 3, 6, 10, 15, …) и пятиугольные (1, 5, 12, 22, …) числа.
На рис.2 и 3 показан способ образования этих чисел.
Любое n-e по порядку треугольное число можно найти по формуле
(2.3),
а любое n-e по порядку пятиугольное - по формуле
(2.4).
Рисунок 2
Рисунок 3
Все остальные числа древние математики представляли в виде прямоугольника размером m x n, выложенных из камней, где обязательно m1 и n
1 (на рис.6 изображены всевозможные представления составного числа 12). Простые числа представляли в виде линий 1x n (рис.5). В связи с этим составные числа древние ученые называли прямоугольными, а простые - непрямоугольными числами.
Рисунок 4
Рисунок 5
Пример 4. Найти седьмое по порядку:
1) квадратное число;
2) треугольное число;
3) пятиугольное число.
Решение:
1) по формуле N=n2 при n=7 находим N=72=49.
по формуле при n=7 находим
.
по формуле при n=7 находим
.
Магические квадраты
Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках квадрата размером 3 x 3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагоналям были равны 15 (рис.6). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.
6 |
1 |
8 |
7 |
5 |
3 |
2 |
9 |
4 |
Новое в образовании:
Анализ работы детского хорового коллектива «Мелодия» г. Волгограда
по реализации творческой активности детей
Хоровой коллектив «Мелодия» ГОУ Центра образования №118 создано в 2002 году. В коллективе занимается 100 человек в возрасте от 5 до 14 лет. Дети обучаются по комплексной образовательной программе хорового коллектива, рассчитанной на 4 года. Учащиеся хорового коллектива «Мелодия» ГОУ Центра образова ...
Мероприятия
по формированию культурно-гигиенических навыков у детей младшего дошкольного
возраста
Для успешного формирования культурно-гигиенических навыков необходимы следующие условия: 1) организация привлекательной и удобной для выполнения действий и заданий обстановки в детском саду и дома (мебель, оборудование, соответствующие росту детей, закрепленные места хранения вещей, доступные для п ...
Экспериментальное изучение состояния лексико-грамматических категорий у
детей старшего дошкольного возраста татарской и русской национальностей
Важным условием правильной организации логопедической коррекционной работы является своевременное и тщательно проведенное психолого-педагогическое обследование ребенка. В процессе обследования обязательно следует учитывать не только то, чем ребенок пока не владеет, но и имеющие у него возможности. ...